Besondere Ungleichungen
Rationale und Wurzel‑Ungleichungen – Definitionsmenge, Vorzeichentabelle, Rückprüfung.
1. Definition & Typen
- Rationale Ungleichungen: Terme im Nenner.
- Wurzel‑Ungleichungen: Wurzelausdrücke.
2. Methoden
- Rational: DN, Hauptnenner, Vorzeichentabelle (Nullen & Polstellen).
- Wurzel: isolieren, potenzieren (mit Rückprüfung), DN beachten.
3. Beispiele
Rational
\(\frac{x-1}{x+2} > 0\Rightarrow (\!-\infty,-2)\cup(1,\infty)\).
Wurzel
\(\sqrt{x+1} \ge x-1\): DN \(x\ge -1\); quadrieren, lösen, rückprüfen.
4. Schritt‑für‑Schritt
- DN aufstellen.
- Auf 0 bringen, kritische Stellen bestimmen.
- Vorzeichentabelle/Intervalltest.
- Rückprüfung (v. a. nach Potenzieren).
5. Herleitung
Vorzeichen rationaler Funktionen ändert sich an Nullen/Polstellen; Potenzieren kann Scheinlösungen erzeugen.
6. Beweis‑Skizze
Stetigkeit auf Intervallen ohne kritische Punkte + Äquivalenzregeln.
7. Typische Fehler
- DN ignoriert (Polstellen eingeschlossen).
- Keine Rückprüfung nach Potenzieren.
8. Übungen
- \(\frac{2x-3}{x+1} \le 1\)
- \(\sqrt{2x+3} > x\)
Lösungen
1) DN \(x\neq -1\). \(\frac{x-4}{x+1}\le0\Rightarrow (\!-1,4]\).2) DN \(x\ge0\). \(2x+3>x^2\Rightarrow x\in(0,3)\).