Gleichungen höherer Ordnung
Warum es keine allgemeine Radikallösung für \(n\ge 5\) gibt (Abel–Ruffini) und wie man in der Praxis trotzdem systematisch Lösungen findet: Faktorisierung, Substitutionen, Zeichenregeln, Näherungsverfahren.
1. Abel–Ruffini-Satz (Kurzfassung)
Es existiert keine allgemeine Formel, die die Nullstellen beliebiger Polynome fünften und höheren Grades allein durch Radikale der Koeffizienten ausdrückt. Viele konkrete Polynome sind jedoch faktorisierbar oder haben spezielle Strukturen.
2. Faktorisierungsstrategien
- Rationale Nullstellen (bei ganzzahligen Koeffizienten): Kandidaten \(x=\dfrac{p}{q}\) mit \(p\mid\) konstantes Glied, \(q\mid\) Leitkoeffizient.
- Horner/Synthetische Division zur deflationierten Restgleichung.
- Substitutionen: z. B. biquadratisch \(x^4+ax^2+b\) (\(t=x^2\)), palindromisch \(x^n+\dots+1\) (\(x+1\) als Faktor testen), Tschebyschow-Strukturen usw.
- Gruppieren und Faktorisieren über \(\mathbb{Q}\) / \(\mathbb{R}\).
3. Zeichenregeln & Informationsgewinn
- Descartes’ Regel: Anzahl positiver reeller Nullstellen \(\le\) Zahl der Vorzeichenwechsel im Polynom (Differenz ist gerade).
- Für negative Nullstellen: wende die Regel auf \(p(-x)\) an.
- Grenzwerte: Verhalten für \(|x|\to\infty\) wird vom Leitkoeffizienten und Grad bestimmt.
- Zwischenwertsatz: Vorzeichenwechsel auf einem Intervall ⇒ mindestens eine Nullstelle.
4. Numerische Verfahren (Newton–Raphson)
Für \(f(x)=0\) mit differenzierbarem \(f\) und Startwert \(x_0\): \[ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}. \] Konvergiert lokal quadratisch bei guter Startwahl. Kombiniere mit Intervallsuche (bisection) für Robustheit.
5. Beispiele
(a) Grad 5 mit rationaler Nullstelle
\(x^5-6x^4+11x^3-6x^2=0\Rightarrow x^2(x^3-6x^2+11x-6)=0\). Restpolynom hat \(x=1\) als Nullstelle ⇒ \((x-1)(x^2-5x+6)\) ⇒ \(x\in\{0,0,1,2,3\}\).
(b) Palindromisches Polynom
\(x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1\). Faktor \(x+1\) prüfen: \(p(-1)=0\) ⇒ deflation und weiter faktorisieren.
(c) Numerik
\(f(x)=x^5-3x+1\). Descartes: eine positive Nullstelle. Starte Newton bei \(x_0=1\) ⇒ rasche Konvergenz.
6. Übungen
- \(x^5-1=0\) → reell \(x=1\), übrige komplex (Einheitswurzeln).
- \(x^6-5x^4+6x^2=0\) → \(x^2(x^4-5x^2+6)=0\) ⇒ biquadratisch.
- \(x^5-2x^4-x^3+2x^2=0\) → faktorisieren durch Gruppieren.