Besondere Gleichungen
Domäne vor Algebra: Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen und biquadratische Formen korrekt lösen – mit Fokus auf Äquivalenzumformungen, Fallunterscheidungen und Probe.
1. Bruchgleichungen
Domäne: Nenner \(\neq 0\) festlegen. Äquivalenz: Multiplikation mit dem Hauptnenner nur für Werte zulässig, die die Domäne erfüllen; am Ende Probe.
Schema: (i) Definitionsmenge \(D\) bestimmen, (ii) auf den Hauptnenner bringen und kürzen, (iii) resultierende Gleichung lösen, (iv) Lösungen gegen \(D\) prüfen.
2. Wurzelgleichungen
Quadrieren ist nicht bijektiv ⇒ Implikation; mögliche Scheinlösungen müssen verworfen werden.
Schema: (i) Wurzeln isolieren, (ii) quadrieren (ggf. mehrfach), (iii) vereinfachen und lösen, (iv) Probe in der Ausgangsgleichung.
3. Biquadratische Gleichungen
Form \(x^4+ax^2+b=0\). Substitution \(t=x^2\) führt zur Quadratik in \(t\); danach Rücksubstitution mit Vorzeichenfällen.
4. Beispiele
(a) Bruchgleichung
\(\dfrac{2x-1}{x-3}=\dfrac{x+5}{x-3}-2\). Domäne: \(x\ne 3\). Multipliziere mit \(x-3\): \(2x-1=x+5-2(x-3)\Rightarrow 2x-1=x+5-2x+6\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4\in D\).
(b) Wurzelgleichung
\(\sqrt{2x+3}=x-1\) ⇒ quadrieren: \(2x+3=(x-1)^2=x^2-2x+1\Rightarrow x^2-4x-2=0\Rightarrow x=2\pm\sqrt{6}\). Probe: nur \(x=2+\sqrt{6}\) gilt.
(c) Biquadratisch
\(x^4+4x^2-5=0\) ⇒ \(t=x^2\): \(t^2+4t-5=0\Rightarrow t\in\{1,-5\}\) ⇒ \(x\in\{\pm1\}\) (reell).
5. Übungen
- \(\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{3}{x-2}-1\) → \(x=4\) (mit \(x\ne 2\)).
- \(\sqrt{3x-1}-\sqrt{x-5}=1\) → isolieren, quadrieren, Probe (eine reelle Lösung).
- \(x^4-7x^2+10=0\) → \(t=x^2\Rightarrow t\in\{2,5\}\) ⇒ \(x\in\{\pm\sqrt2,\pm\sqrt5\}\).