Quadratische Gleichungen

1. Normalform

Jede Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) mit \(a\ne 0\) kann durch Division durch \(a\) in die pq-Form \(x^2+px+q=0\) überführt werden, mit \(p=\dfrac{b}{a}\), \(q=\dfrac{c}{a}\).

2. pq-Formel (Beweis durch quadratische Ergänzung)

\(x^2+px+q=0 \iff x^2+px=-q\).

Ergänze die Quadratform: \(x^2+px+\Bigl(\tfrac{p}{2}\Bigr)^2=\Bigl(\tfrac{p}{2}\Bigr)^2-q\).

\(\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2=\tfrac{p^2}{4}-q \Rightarrow x=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\tfrac{p^2}{4}-q}\).

3. Mitternachtsformel

Für \(ax^2+bx+c=0\) (mit \(a\ne 0\)) erhält man \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Sie folgt aus der pq-Formel via \(p=b/a\), \(q=c/a\).

4. Diskriminante & Fälle

Die Diskriminante \(D=b^2-4ac\) entscheidet die Anzahl reeller Lösungen:

• \(D>0\): zwei reelle, verschiedene Lösungen,
• \(D=0\): eine reelle Doppellösung \(x=-\dfrac{b}{2a}\),
• \(D<0\): keine reellen (zwei komplex konjugierte) Lösungen.

5. Scheitelpunktform

\(ax^2+bx+c=a\Bigl(x-\dfrac{-b}{2a}\Bigr)^2+\Bigl(c-\dfrac{b^2}{4a}\Bigr)\). Scheitel \(S\!\left(\dfrac{-b}{2a},\,c-\dfrac{b^2}{4a}\right)\).

6. Vieta-Sätze

Hat \(ax^2+bx+c=0\) die Nullstellen \(x_1,x_2\), gilt \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) und \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\).

7. Sonderfälle

• Fehlendes \(b\): \(ax^2+c=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{-\tfrac{c}{a}}\).
• Fehlendes \(c\): \(ax^2+bx=0 \Rightarrow x(a x+b)=0 \Rightarrow x\in\{0,-\tfrac{b}{a}\}\).
• Quadratische Gleichungen mit Parameter: Analyse über \(D(p)\) (Ortskurven, Tangentialfälle).

8. Beispiele

(a) pq-Formel

\(x^2-6x+5=0\Rightarrow x=3\pm\sqrt{9-5}=3\pm2\Rightarrow x\in\{1,5\}\).

(b) Mitternachtsformel

\(2x^2+3x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\dfrac{-3\pm5}{4}\Rightarrow x\in\{\tfrac12,-2\}\).

(c) \(D=0\)

\(x^2+4x+4=0\Rightarrow (x+2)^2=0\Rightarrow x=-2\) (Doppellösung).

9. Übungen (kurze Lösungen)

1. \(x^2+8x+15=0\) → \(\{-3,-5\}\)
2. \(3x^2-6x+3=0\) → \(x=1\) (doppelt)
3. \(x^2+2x+5=0\) → keine reellen (\(-1\pm2i\))

10. Wohin als Nächstes?