Grundlagen der Gleichungen
Definition, Äquivalenzumformungen, Lösungsprinzip und allgemeine Begründung – ausführlich und verständlich.
1. Definition
Eine Gleichung ist eine Aussage der Form \(L(x)=R(x)\). Gesucht sind alle Werte von \(x\), die diese Aussage wahr machen (Lösungsmenge).
Äquivalente Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge.
2. Äquivalenzumformungen
- Addieren/Subtrahieren derselben Terme auf beiden Seiten.
- Multiplizieren/Dividieren mit \(\neq 0\).
- Potenzieren/Wurzelziehen mit Rückprüfung (kann Scheinlösungen erzeugen!).
- Substitution (z. B. \(t=x^2\)) – mit Rücksubstitution.
3. Beispiele
Lineares Beispiel
\(2x+5=11\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3\).
Mit Wurzel
\(\sqrt{x+4}=x\Rightarrow x+4=x^2\Rightarrow x=4\) oder \(x=-1\) (verwerfen, da \(\sqrt{3}\neq-1\)).
4. Schritt‑für‑Schritt
- Definitionsmenge klären (Nenner \(\neq0\), Wurzelausdrücke \(\ge0\)).
- Term vereinfachen, gesammelt auf eine Seite bringen.
- Geeignete Methode wählen (linear, quadratisch, Faktorisieren, Substitution).
- Rückprüfung in der Ausgangsgleichung.
5. Herleitungsidee
Warum funktionieren die Schritte? Weil die erlaubten Umformungen Äquivalenz erhalten. Bei nicht umkehrbaren Schritten (Potenzieren) wird durch Prüfung sichergestellt, dass nur echte Lösungen bleiben.
6. Beweis‑Skizze (Regeln)
- Aus \(u=v\) folgt \(u+k=v+k\) (Additionsgesetz).
- Aus \(u=v\) folgt \(uk=vk\) (Multiplikationsgesetz).
- Für \(k\neq0\): aus \(uk=vk\) folgt wieder \(u=v\) (Division).
7. Typische Fehler
- Definitionsmenge vergessen → Scheinlösungen zulassen.
- Falsches Verteilen bei Minusklammern, z. B. \(-(a-b)\neq -a-b\).
- Potenzieren ohne Rückprüfung.
8. Übungen
- \(3x-7=2x+5\)
- \(\dfrac{2}{x-1}=1\)