Lineare Gleichungen
Von der einvariablen Gleichung \(ax=b\) bis zum Gleichungssystem \(Ax=b\): Äquivalenzumformungen, Eindeutigkeit, Gauß-Elimination und Rang-Kriterium (Rouché–Capelli) mit sauberen Herleitungen und Beispielen.
1. Definition
Eine lineare Gleichung in einer Unbekannten \(x\) über einem Körper \(K\) (in der Schule i. d. R. \(K=\mathbb{R}\)) hat die Form \(a\,x=b\) mit \(a,b\in K\). In \(n\) Unbekannten lautet die allgemeine Form \(a_1x_1+\dots+a_nx_n=b\).
Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge unverändert. Zulässig sind u. a.:
- Addition/Subtraktion derselben Terme auf beiden Seiten,
- Multiplikation/Division mit \(a\neq 0\),
- Terme zusammenfassen, Klammern auflösen, ausmultiplizieren.
2. Lösungsformel und Fallunterscheidung
- Für \(a\neq 0\) besitzt \(ax=b\) genau die Lösung \(x=\dfrac{b}{a}\).
- Für \(a=0,\, b\neq 0\): keine Lösung (Widerspruch \(0=b\)).
- Für \(a=0,\, b=0\): jede Zahl \(x\in K\) ist Lösung (Identität).
3. Beweis (Eindeutigkeit bei \(a\neq 0\))
Seien \(x_1,x_2\) Lösungen von \(ax=b\) mit \(a\neq 0\). Dann gilt \(a x_1=b=a x_2\). Subtraktion liefert \(a(x_1-x_2)=0\). Da Körper nullteilerfrei und \(a\neq 0\), folgt \(x_1-x_2=0\), also \(x_1=x_2\). Die Existenz ergibt sich aus \(x=b/a\).
4. Beispiel (einvariabel)
Aufgabe: \(7x-3=2x+12\)
\[ \begin{aligned} 7x-3 &= 2x+12 \\ 5x-3 &= 12 \quad (\text{Subtrahiere }2x)\\ 5x &= 15 \quad (\text{Addiere }3)\\ x &= 3 \quad (\text{Dividiere durch }5). \end{aligned} \]
5. Sorgfalt bei Umformungen
- Nie durch \(0\) teilen.
- Nichtbijektive Schritte (z. B. Quadrieren) erzeugen Scheinlösungen → am Ende Probe.
- Definitionsbereiche beachten (Nenner \(\neq 0\), Wurzeln/Logarithmen im zulässigen Bereich).
Beispiel: \(\sqrt{2x+3}=x-1\).
\[ \begin{aligned} 2x+3 &= (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \\ 0 &= x^2 - 4x - 2 \\ x &= 2 \pm \sqrt{6}. \end{aligned} \] Nur \(x=2+\sqrt{6}\) erfüllt die Ausgangsgleichung; \(x=2-\sqrt{6}\) ist Scheinlösung.
6. Lineare Gleichungssysteme (LGS)
Ein LGS mit \(m\) Gleichungen in \(n\) Unbekannten wird als Matrixgleichung geschrieben: \(A x = b\) mit \(A\in K^{m\times n}\), \(x\in K^n\), \(b\in K^m\).
Rang und Lösbarkeit (Rouché–Capelli)
- Lösbar genau dann, wenn \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)\).
- Eindeutig lösbar, wenn zusätzlich \(\operatorname{rg}(A)=n\) (volle Spaltenrangzahl).
- Unendlich viele Lösungen, wenn \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)
7. Methodenüberblick
- Einsetzungsverfahren (Variable isolieren, einsetzen)
- Additions-/Eliminationsverfahren (geeignete Linearkombinationen)
- Gleichsetzungsverfahren (bei zwei Gleichungen)
- Gaußsches Eliminationsverfahren (systematisch, matrixbasiert)
Beispiel (2×2, Determinante)
\[ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \qquad \Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1. \] Ist \(\Delta\neq 0\), dann \[ x=\frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{\Delta},\qquad y=\frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{\Delta}. \]
Beispiel (Additionsverfahren)
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 4\\ 5x - 2y = 6 \end{cases} \] Addiere die Gleichungen: \[ 8x=10 \Rightarrow x=\tfrac{5}{4},\qquad 3\cdot\tfrac{5}{4}+2y=4 \Rightarrow y=\tfrac{1}{8}. \]
8. Übungen
- \(9x-4=2x+17\)
- \(\begin{cases}4x+y=1\\ 2x-3y=11\end{cases}\)
- \(\begin{cases}x+2y-z=0\\2x+4y-2z=0\end{cases}\)
Lösungen
1) \(x=3\).2) Einsetzen: \(x=1,\,y=-3\).
3) Rang \(=1\), \(n=3\) ⇒ \((x,y,z)=(-2t+s,\;t,\;s)\).