Kubische Gleichungen
Von der Reduktion zur depressiven Form \(t^3+pt+q=0\) über die Cardano-Formel bis zur Diskriminantenanalyse und dem casus irreducibilis (trigonometrische Lösung).
1. Reduktion zur depressiven Form
Gegeben \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) mit \(a\ne 0\). Substitution \(x=t-\dfrac{b}{3a}\) eliminiert den \(t^2\)-Term und liefert \(t^3+pt+q=0\) mit \(p=\dfrac{3ac-b^2}{3a^2}\), \(q=\dfrac{27a^2 d-9abc+2b^3}{27a^3}\).
2. Cardano-Formel
Für die depressive Form \(t^3+pt+q=0\) setze \(t=u+v\) mit \(3uv=-p\) und \(u^3+v^3=-q\). Daraus folgt \[ u^3=\,-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta},\qquad v^3=\,-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}, \] wobei \(\Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3\). Eine reelle Lösung ist \[ t=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}. \] Weitere Lösungen entstehen durch Multiplikation von \(u\) bzw. \(v\) mit den kubischen Einheitswurzeln.
3. Diskriminante & Fallunterscheidung
Für \(t^3+pt+q=0\) ist die (bis auf Vorzeichen äquivalente) Diskriminante \(\Delta_c = -4p^3-27q^2\).
- \(\Delta_c>0\): drei reelle, verschiedene Nullstellen.
- \(\Delta_c=0\): Mehrfachwurzel (mind. zwei gleiche).
- \(\Delta_c<0\): eine reelle und zwei komplex konjugierte Nullstellen.
4. Casus irreducibilis (trigonometrische Lösung)
Für \(\Delta_c>0\) (drei reelle Nullstellen) sind die Radikale in Cardano über reellen Zahlen unhandlich. Setze \[ t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\!\left(\frac{1}{3}\arccos\!\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right),\quad k=0,1,2, \] sofern \(p<0\). Die Lösungen für \(x\) erhält man durch Rücksubstitution \(x=t-\dfrac{b}{3a}\).
5. Rationale Nullstellen (Teilbarkeitskriterium)
Bei ganzzahligen Koeffizienten sind mögliche rationale Nullstellen \(x=\dfrac{p}{q}\) Teiler von \(\dfrac{\text{konst. Glied}}{\text{Leitkoeffizient}}\). Ein Treffer erlaubt Faktorisierung und reduziert auf eine quadratische Gleichung.
6. Beispiele
(a) Eine rationale Nullstelle
\(x^3-4x^2-x+4=0\). Teste \(x=1\): \(1-4-1+4=0\) ⇒ Faktor \((x-1)\). Division liefert \(x^2-3x-4=0\Rightarrow x\in\{1,4,-1\}\).
(b) Depressive Form & Cardano
\(x^3-3x+1=0\) ist bereits depressiv (\(p=-3,q=1\)). \(\Delta=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-1\right)^3=-\tfrac{3}{4}<0\) ⇒ drei reelle Lösungen. Nutze trigonometrische Form aus Abschnitt 4: \(x_k=2\cos\!\left(\tfrac{1}{3}\arccos\!\tfrac{1}{2}-\tfrac{2\pi k}{3}\right)\), \(k=0,1,2\).
7. Übungen (kurze Lösungen)
- \(x^3-2x^2-5x+6=0\) → \(x\in\{1,2, -3\}\).
- \(x^3+3x^2+3x+1=0\) → \((x+1)^3=0\) ⇒ \(x=-1\) (dreifach).
- \(x^3-3x+1=0\) → drei reelle (Trigonometrie).