Quartische Gleichungen
Biquadratische Spezialfälle, Reduktion zur depressiven Form \(y^4+py^2+qy+r=0\) und die Ferrari-Methode mithilfe einer Resolventen-Kubik.
1. Biquadratische Gleichungen
Form: \(x^4+ax^2+b=0\). Setze \(t=x^2\) ⇒ \(t^2+at+b=0\). Löse quadratisch, dann \(x=\pm\sqrt{t_1},\,\pm\sqrt{t_2}\) (nur reelle \(t_i\) liefern reelle \(x\)).
2. Reduktion zur depressiven Form
Allgemein \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\) mit \(a\ne 0\). Substitution \(x=y-\dfrac{b}{4a}\) eliminiert den \(y^3\)-Term und führt auf \(y^4+py^2+qy+r=0\) (Koeffizienten \(p,q,r\) lassen sich explizit aus \(a,\dots,e\) angeben).
3. Ferrari-Methode (Skizze)
Ziel: Schreibe \(y^4+py^2+qy+r\) als Differenz zweier Quadrate. Wähle \(m\) so, dass \[ \bigl(y^2+m\bigr)^2=\bigl(y^2+py+ m\bigr)^2-\bigl(qy + (m p - r)\bigr). \] Die Bedingung, dass die rechte Seite ein Quadrat ist, liefert die Resolventen-Kubik für \(m\). Eine gängige Normalisierung ist \[ 8m^3 + 8p m^2 + (2p^2 - 8r) m - q^2 = 0, \] deren reelle Lösung \(m\) einsetzbar ist. Danach faktorisiere in zwei Quadrate und löse zwei quadratische Gleichungen.
Hinweis: In der Literatur existieren äquivalente Resolventen je nach Umformung; die oben gegebene Form ist gebräuchlich.
4. Beispiele
(a) Biquadratisch
\(x^4-5x^2+4=0\). Setze \(t=x^2\): \(t^2-5t+4=0\Rightarrow t\in\{1,4\}\). Also \(x\in\{\pm1,\pm2\}\).
(b) Faktorisierbar
\(x^4+x^3-7x^2-x+6=0\Rightarrow (x^2+2x-3)(x^2- x-2)=0\) ⇒ \(x\in\{1,-3,2,-1\}\).
(c) Allgemeiner Fall (Ferrari, skizziert)
\(x^4-2x^2-4x+1=0\). Reduziere via \(x=y\) (bereits depressiv: \(p=-2,q=-4,r=1\)). Löse Resolvente \(8m^3-16m^2+(8-8)m-16=0\Rightarrow m=2\) (eine mögliche Lösung). Danach ergibt sich eine Darstellung in Quadrate und zwei Quadratische – numerisch lösbar.
5. Übungen
- \(x^4-10x^2+9=0\) → \(t=x^2\) ⇒ \(t\in\{1,9\}\) ⇒ \(x\in\{\pm1,\pm3\}\).
- \(x^4+6x^2+8=0\) → \(t^2+6t+8=0\Rightarrow t\in\{-2,-4\}\) ⇒ keine reellen \(x\).
- \(x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0\) → \((x-1)^4=0\) ⇒ \(x=1\) (vierfach).